table a été présentée à la classe le 10 janvier.

Nous avons remarqué qu’elle double le résultat de chaque ligne pour l’utiliser sur la ligne d’après.

Création de départ de Maëlys

On n’arrivait pas à décider ce que Maëlys avait voulu écrire : un signe + ou un signe x ?

La création de Maëlys au tableau : on la travaille, on l’interpète…

Alors, pour plaisanter, on a proposé que ce soit les deux : ce serait l’opération * (étoile). Mais que faisait-elle, cette opération ?

Facile, a proposé Matis : « d’abord, elle multiplie les nombres entre eux, puis elle ajoute leur somme. Par exemple, ici, voici le résultat : »

Ce que Matis a proposé

6*10, c’est égal à (6 x 10) + (6+10), c’est donc égal à 60 + 16, et donc c’est bien 76 !

Quelle magnifique proposition ! Nous nous sommes emballés dans la recherche, nous avons alors exploré la table de 10 :

La table de 10…

Et bien entendu, nous avons remarqué qu’entre chaque résultat, on ajoutait 11. En effet :

10 + 11 = 21 21 + 11 = 32 32 + 11 = 43

Tiens, tiens, on ajoute 11 à chaque fois et c’est la table de 10… Or 11, c’est 10 +1.

Et pour la table de 6, alors, on ajouterait 7 (qui est égal à 6+1) ? Aussitôt dit, aussitôt testé !

Le début de la table de 6…

Oui ! ça marche ! Alors là, nous étions vraiment contents et excités. On a testé la table de 9 : si vous avez bien suivi notre raisonnement, on devait ajouter… 10 à chaque fois pour trouver le résultat suivant.

Et celui de la table de 9 : on était pressés de vérifier notre hypothèse !

Youpi, ça marchait à nouveau. Inutile de vous décrire notre enthousiasme et notre fierté !

La fois suivante, nous avons exploré méthodiquement la table de l’opération étoile…

Maëlan avait choisi une présentation en colonnes :

Le travail de Maëlan, qu’on n’a pas encore fini de vérifier…

Tandis qu’Elzéar et Matis avaient opté pour la présentation en tableau à double entrée, comme Pythagore.

Une autre présentation des tables : le tableau à double entrée.

Tous ensemble, au tableau, nous avons commencé à remplir la table en tableau avec l’aide de la table en colonnes, en vérifiant les résultats. Pour cela, nous avons décomposé chaque étape : d’abord on calcule le PRODUIT des 2 nombres (on fait une multiplication) puis la SOMME des deux nombres (on fait une addition).

Cette opération nous fait beaucoup calculer !

Nous nous sommes concentrés sur la ligne diagonale de la table.

Et il faut bien se concentrer pour ne pas s’emmêler !

Voici où nous sommes rendus, mais nous sommes loin d’avoir terminé !

On a bien cherché, mais rien trouvé de spécial dans les résultats de la diagonale…

Un jour, au premier trimestre, quelqu’un a proposé d’essayer de tracer un cercle sans compas, à la règle…

Depuis, il y a eu bien des essais, des propositions…

Par exemple, celle de Jasonn, qui a tracé plein de diamètres…

puis, il a essayé de tracer le cercle,

en reliant les extrémités de ces diamètres.

Un jour, Maëlwenn nous a rappelé une recherche qu’elle avait vue affichée dans la classe l’année dernière : ça a donné des idées à Emi, qui a voulu prolonger les réalisations très belles de Lysa et Elia.

Emi a essayé avec des polygones de plus de 12 côtés :

Le 26 mars, Emi nous présente son travail : elle a tracé toutes les diagonales d’un polygone presque régulier à 18 côtés. Et là, surprise ! Il y a un cercle qui apparaît nettement au milieu.

Et même d’autres cercles remarque Clara… Nous comptons 7 cercles concentriques, de plus en plus difficiles à voir plus on s’éloigne du centre. Par quel mystère ?

Nous ne savons pas y répondre, mais nous faisons des essais pour continuer nos explorations de l’idée de départ : tracer un cercle avec une règle, sans compas.

Maëlwenn travaille avec une règle de 50 cm.

Nous utilisons parfois de très grandes feuilles à petits carreaux (de format A2, c’est-à-dire l’équivalent de 2 feuilles A3 collées).

Le 3 avril, on a découvert que la réalisation de Maëlwenn ressemblait à des arcs de cercle.

Et même, des arcs de cercles très précis : des quarts de cercle.

Le 10 avril, Maëlwenn a photocopié son travail 4 fois, pour essayer de faire un grand cercle à partir de son quart de cercle.

Esteban vérifie au tableau que c’est bien dans un carré.

Chez elle, Maëlwenn a tracé un cercle à la règle dans un carré de 5 cm de côté.

Au tableau, tous ensemble, …

… on a cherché un moyen de coder la trouvaille de Maëlwenn pour que tout le monde puisse la refaire. Voilà notre codage :

• 8 X (0 ;4)
• 8 X (1 ;3)
• 4 X (2 ;2)

Comme Emi sur son cahier par exemple… ça tente qui d’autre ?

Emilien cercle présenté le 7 mai.

Evan, lui, il s’est dit qu’il pourrait essayer autre chose…

Au départ, Evan a tracé un losange. Et il obtient « un cercle pointu sur les bords ».

Voici la figure qu’a réalisée Lisa…

Nous avons essayé de continuer le travail qu’elle avait fait avec un demi-cercle. Et ça donne…

Moya présenté le 26 mars

Youenn, lui, a décidé d’essayer d’appliquer la proposition de Moya :

Youenn 27 mars

Bizarre, cette table…

Les chiffres symétriques de Clara.

Au tableau, Laël a remarqué qu’il y avait deux axes de symétrie.

On a tracé d’abord un seul axe de symétrie pour nous aider à vérifier chaque chiffre.

Au tableau, on fait des propositions …

Lisa et Laura G ont participé à « redresser » les 7.

… pour améliorer les propositions.

Ensuite, quand on a tracé l’autre axe de symétrie, Clara a remarqué que c’était difficile de corriger un seul axe à la fois. Elle a décidé de tout recommencer proprement.

Clara a recommencé son premier travail.

Cette fois, c’est mieux ! a dit Marllay.

Un jour, Jasonn s’est proposé de calculer 400 millions moins 1 million, moins 1 million, moins 1 million, … Il l’a présenté au groupe.

Jasonn 30 mars

Esteban, qui a bien regardé le travail de Jasonn, a proposé de le transformer. Il s’est dit, moi, je vais calculer…

Ce jour-là, dans le cahier de mathématiques de Thomas, nous avons vu ça…

La première proposition de Thomas.

Mais il n’y avait pas encore les couleurs, nous les avons mises ensemble en étudiant son travail au tableau.

On a cherché, tous ensemble, comment Thomas avait fait.

On a découvert qu’il avait mis les nombres deux par deux en commençant par tout en bas, puis tout en haut, puis à gauche, puis à droite.

On a proposé d’autres façons de mettre les nombres.

Maélys, pendant ce temps, sur son cahier jaune, a réalisé ça :

La première transformation, réalisée par Maélys.

Alors, quand elle l’a présenté au groupe, à son tour, au tableau, on lui a dit que c’était réussi, mais qu’elle pourrait le refaire en plus appliqué…

Là, c’est droit !

C’est mieux réussi, a dit Marllay !

Ce sont des études que Valentin a faites pour réaliser un « pavage de rosaces ».

Ensuite, il a essayé de couvrir toute une surface de rosaces.

Cette fois, Valentin a réussi sur toute une page de cahier !

Et le plus difficile : sur du papier blanc !

Pavage rosace réussi sur papier blanc, présenté le 2 février à la classe.

Lors de la projection à la classe, nous avons marqué au feutre tous les centres pour compter le nombre de cercles qu’il avait tracés. Et quand nous avons éteint le vidéoprojecteur, nous avons remarqué que des points étaient alignés.

Aussitôt, nous avons eu envie de tracer…

… des segments, des figures, à la règle.

Mais pourquoi les centres des cercles des rosaces étaient-ils alignés ?

ça faisait les sommets d’un losange, les 4 centres !

Alors, on a tracé le losange. Et Thomas, étonné, a dit : « ah ben moi, je le savais même pas qu’il y avait un losange caché là ! »

Un peu plus tard, Maëlwenn a essayé une autre technique, proposée par Marllay, pour tracer un losange :

Maëlwenn losange

Carla et Hugo, nos correspondants de La Ciotat, nous ont écrit à propos de cet article

Comme notre site ne permet pas d’agrandir les images, nous avons retranscrit leur courrier :

"Bonjour Thomas et Maëlwenn,

Nous sommes Hugo et Carla, élèves de 2^de Freinet à La Ciotat et nous avons été interpelés par vos travaux remarquables sur les losanges. Nous aussi avons été étonnés de voir apparaître un losange à partir des centres. Mais nous avons plusieurs questions avant de poursuivre ce travail de recherche avec vous :

1- Thomas, comment as-tu eu l’idée de faire un pavage de rosaces ?

2- As-tu des mesures à indiquer pour tes cercles ou les as-tu faits aléatoirement sur ta feuille ?

3- Comment peux-tu affirmer que c’est un losange ?

4 - Maëlwenn, peux-tu nous donner ton programme de construction ? 5 - A quoi sert l’ovale au centre du losange ?

Nous avons essayé de répondre à ce courrier, en aidant Thomas à formuler quelques réponses à Hugo et Carla :

1- Au début, j’ai voulu envahir ma feuille de cercles. Au bout d’un moment, j’en ai eu assez.

2- Mon copain Marllay m’a aidé à trouver pourquoi c’est un losange. Cette figure a :

• 4 côtés de même longueur
• 4 sommets
• 2 angles aigus
• 2 angles obtus

Une question de vocabulaire… En anglais, « numbers » c’est nombre et numéro. Mais en français, On se demande si :

Est-ce que les chiffres qu’on utilise pour écrire la date et l’heure sont des numéros ?

et aussi, pourquoi cette opération a l’air un peu magique :

Le résultat s’écrit avec les nombres de plus en plus petits : 9, 8, 7, 6, 5…

La feuille est collée sur un carton pour pouvoir l’afficher dans la classe.

Laura a défini une règle de calcul, et elle l’applique.

C’est la moitié gauche. Mais la moitié droite est symétrique : une moitié suffit pour comprendre !

Comme c’est difficile de scanner cette grande feuille, on va vous dire ce qu’elle fait : elle ajoute les nombres des 2 cases à gauche et au-dessus d’une case, et elle écrit le résultat. Mais les nombres sont si grands qu’ils ne rentrent plus dans les cases depuis longtemps !

Alors, elle a inventé des codages avec les couleurs.

Au début, une couleur suffisait…

Ensuite, il a fallu associer 2 puis 3 puis 4, jusqu’à 6 couleurs.

Mais à leur tour, les codages avec des couleurs ne rentraient plus. Alors Estelle et Laura G, qui se sont mises ensemble pour réussir ce long travail, ont décidé d’adopter un autre système, avec des lettres et des couleurs.

Mais elles sont fatiguées de ce travail si difficile… Pourtant, elles voudraient bien connaître le plus grand nombre, on a réfléchi ensemble et on sait dans quelle case il sera.

Zoé, elle, a choisi de faire une symétrie axiale avec deux axes de symétrie perpendiculaires.

Zoé symétrie

On a vérifié, il n’y en a pas plus que deux.

Par contre, on a vu un carré dans la figure de Zoé. Alors, on a tous fait un carré, et on a cherché combien un carré a d’axes de symétrie…

En le pliant, on est sûrs de notre résultat !

Un bébé sur un tabouret.

Un chat normal s’apprête à boire.

Un chat boit.

On a vu une autruche, un paon, un papillon qui sort de son cocon… mais Laël a fait la reine d’Angleterre ! Et si c’était une autruche d’Angleterre vu de derrière, qui se retourne pour nous regarder ? Ou alors le Cyclope Brontès ?

Quelques jours plus tard, Laël offre à la classe une fiche avec des puzzles réalisés avec un tangram, …

La fiche qui présente les tangrams.

et il les réalise.

Un canard, …

Un renard…

et un écureuil !

Un voilier…

Avant 2002, on utilisait une monnaie nationale en France : les francs. Et chaque pays européen avait sa monnaie : les pesetas en Espagne, les drachmes en Grèce, les marks en Allemagne… Tous ces pays utilisent l’euro depuis 2002. Lorsqu’on est « passé à l’euro », les gens utilisaient des convertisseurs pour se rendre compte du prix des choses.

Recherche d’Emi feuille 1

Recherche d’Emi feuille 2

Cela a donné envie à Esteban de continuer :

Esteban recherche euros francs

Nos correspondants du lycée Lumière de La Ciotat ont écrit à Emi au sujet de son travail !

Réponse à Emi Hugo et Carla

Emi a réalisé deux graphiques en suivant les propositions d’Hugo et Carla.

Le premier n’allait pas bien loin… Alors elle s’est demandé si c’était possible de choisir une échelle différente pour chaque axe, pour « aller un peu plus loin ». Marine, une maîtresse stagiaire qui était avec elle, lui a dit que c’était possible. Alors elle l’a fait !

Comme nous avons fait des graphiques des températures que nous relevons deux fois par jour les jours d’école, nous avons comparé les graphiques d’Emi à nos graphiques de température.

Nous avons découvert que les graphiques d’Emi nous donnaient des informations qu’on n’y avait pas mises : par exemple, on peut lire combien de francs valent 3,50 €.Alors que les graphiques de température n’indiquent que les informations que nous y avons mises. La maitresse a dit que ça s’appelait une « fonction linéaire », et que ça sert a représenter des relations de proportionnalité.

Emi a décidé de faire un graphique encore plus grand, pour qu’il aille jusqu’à au moins 200 francs, et qu’il soit plus utile… à suivre !

Pour cela, elles ont commencé par tracer des polygones méthodiquement, et à en compter le nombre de diagonales après les avoir tracées.

On a remarqué qu’elles ont inventé une technique pour ne pas en oublier : elles ont tracé d’une même couleur toutes les diagonales qui partent d’un même sommet.

Polygone à 5 côtés

Polygone à 6 côtés

Polygone à 7 côtés

Polygone à 8 côtés

Polygone à 9 côtés

Polygone à 10 côtés

À ce moment-là, cela devenait difficile de continuer avec des polygones irréguliers. Quelques élèves de CM2 ont continué cette recherche avec des polygones réguliers, en cherchant une règle qui leur éviterait de construire des polygones de 20 côtés : les risques d’erreurs devenaient trop importants.

Voici le travail de Lysa et d’Élia pour 11 et 12 côtés :

Polygone à 11 côtés

Polygone à 12 côtés : dodécagone régulier à 108 diagonales.

Le groupe des CM2 a cherché la règle ensemble, mais c’était difficile :

ils ont présenté leurs difficultés à la classe, et la recherche s’est terminée avec l’aide de la maitresse :

Un tableau qui sert à faire de la recherche en mathématiques

La formule finale

Puis on a appliqué la formule pour parvenir à la réponse du problème initial :

un polygone de 20 côtés a 170 diagonales.

Calcul avec la formule pour 11 à 17 côtés

Calculs avec la formule de 18 à 24 côtés

Mais Valentine et Mélanie, aidées par Sullivan, voulaient explorer la formidable formule qui permettait de calculer le nombre de diagonales de n’importe quel polygone…

Pour cela, il leur fallait un grand tableau pour calculer…

un polygone à 100 000 côtés, combien a-t-il de diagonales ?

Calculs pour un polygone à 100 000 côtés

Et oui, la réponse est : 4 milliards 999 millions 850 mille. Presque 5 milliards !

Voici l’exemple choisi par Bosley pour nous présenter sa trouvaille :

L’exemple de Bosley.

Chaque élève a vérifié que la formule proposée par Bosley fonctionnait pour un exemple.

Un vrai tableau de mathématicien !

À la fin, les élèves ont réalisé des affiches de quelques exemples de la découverte, pour les afficher en classe et ainsi les conserver sous les yeux.

Voici les exemples mis au propre :

L’exemple de Mathys.

L’exemple de Marina.

L’exemple de Kelly.

Les élèves ont ensuite voulu traduire cette technique en « formule » à la manière de la maitresse, qui s’en sert pour mieux traduire en langage mathématique les idées proposées par les élèves, avec des lettres pour désigner les nombres qu’on connait, et d’autres lettres pour désigner les nombres qu’on cherche.

Une formule colorée !

Exploration des caractéristiques d’un polygone irrégulier

Découverte des propriétés du triangle équilatéral

Une symétrie et une translation, c’est différent !

Mesure d’angles au rapporteur

L’intersection de deux rectangles, c’est un carré ou un losange ?

L’écriture des nombres sous forme de puissances

Calculs de puissances

Le double du quadruple